Método de solución de Newton-Raphson

Cualquier método de solución iterativo requiere uno o más valores supuestos para iniciar el calculo, luego se utiliza para obtener una solución nueva que puede aproximarse a la correcta. Este proceso se repite hasta que converge en una solución nueva que puede aproximarse a la correcta para propósitos prácticos. Sin embargo, no existe garantía de que un método iterativo convergirá. Puede divergir y dar soluciones sucesivas que se alejan de la correcta, en especial si la suposición inicial no se aproxima lo suficiente a la solución real. 

Determinación de una raíz unidimensional (método de Newton) 

Una función lineal tiene múltiples raíces donde una raíz se define como la intersección de la función con cualquier línea recta. Por lo general el eje cero de la variable independiente es la línea recta de la cual se desean las raíces. Considere, por ejemplo, un polinomio cúbico, el cual tendrá tres raíces, con cualquiera o todas reales. 

y=f(x)=-x^3-2x^2+50x+60

Existe una solución de forma cerrada para las raíces de una función cúbica que permite calcular por anticipado que las raíces de esta función cúbica particular son reales y son x = -7.562, -1.177 y 6.740.

En las anteriores graficas llamadas a y b se muestra como la función graficada en un rango de x, donde a se escoge un valor inicial de x1= 1.8. El algoritmo de Newton se evalúa la función con este valor supuesto y se determina y1, esto se compara con la tolerancia seleccionada por el usuario ej. 0.001 para comprobar si se aproxima lo suficiente a cero y llamar a x1 la raíz. Si no, entonces la pendiente (m)de la función en x1. y1 se calcula con una expresión analítica para la derivada de la función, o con una diferenciación numérica (menos deseable). Luego se evalúa la ecuación de la línea tangente para determinar su intersección en x2, la cual se utiliza como un nuevo valor supuesto. El proceso anterior se repite y se determina y2, el cual se prueba contra la tolerancia seleccionada por el usuario; y, si es demasiado grande se calcula otra línea tangente o una intersección x es usada como nuevo valor supuesto. El proceso se repite hasta que el valor de la función yi con la última xi se aproxima suficientemente a cero para satisfacer al usuario. 

El algoritmo de Newton antes descrito puede expresarse de manera algebraica como se muestra a continuación. La función cuyas raíces se buscan es f(x) y su derivada es f '(x). La pendiente m de la línea tangente es igual a f ' (x) en el punto xiyi.

Paso 1: yi = f(xi)

Paso 2: SI yi < tolerancia ENTONCES ALTO

Paso 3: m = f ' (xi)

Paso 4: xi+1 = xi - yi/m

Paso 5: Yi + 1 = f (xi + 1)

Paso 6: SI yi + 1 < tolerancia ENTONCES ALTO 

También xi = xi + 1 :  yi= yi + 1:  IR A paso 1

Determinación de una raíz multidimensionales 

 (método de Newton - Raphson) 

Este método es fácil de ampliar a conjuntos de ecuaciones no lineales, múltiples y simultáneas, por ello se denomina método de Newton - Raphson. 

A continuación se expresa la expresión desarrollada el caso unidimensional en el paso 4. 

 

Pero: Xi + 1=Xi - Yi/m  o m (Xi + 1 - Xi) = - Yi 

Yi= f (Xi)  m = f ' (Xi)      Xi +1- Xi = Delta X 

Al sustituir: f ' (Xi) * Delta X = - f (Xi)

Se introduce delta X, el cual se aproximará a cero a medida que converge hacia la solución. El término Delta X en lugar de Y1 será probado contra una tolerancia seleccionada en este caso.

Un problema multidimensional tendrá un conjunto de ecuaciones de la forma: 

donde el conjunto de ecuaciones constituye un vector, llamado B 

Se requieren derivadas parciales para obtener los términos de pendiente: 

los cuales forman la matriz Jacobiana del sistema, llamada A 

Los términos de error también son un vector, llamado X 

La ecuación anterior se convierte entonces en una ecuación matricial en el caso multidimensional. 

AX = -B

 

Solución de Newton - Raphson para el mecanismo de cuatro barras

La ecuación de lazo vectorial del mecanismo de cuatro barras, separada en sus partes real e imaginaria, proporciona el conjunto de ecuaciones que definen los dos ángulos de eslabón  desconocidas como theta 3 y theta 4. Se usan las longitudes de eslabón a, b, c, d y el ángulo de entrada theta 2.

Esta matriz se conoce como el Jacobiano del sistema; además de su utilidad en este método de solución, también indica algo sobre la resolución del sistema. El sistema de ecuaciones de posición, velocidad y aceleración, sólo puede resolverse si el valor del determinante del Jacobiano no es cero.